I) La numérotation complémentaire (1820-1822)

Les premiers arithmomètres ne disposent pas d'inverseur de marche pour effectuer les opérations de soustraction. Sur ses premiers arithmomètres, Thomas utilise le principe de la numérotation complémentaire, déjà connu et intégré au 17ème siècle par Pascal sur ses machines.

La Pascaline (1645)

"A l'aide d’un cache en laiton, que l'on fait glisser, on fait apparaître aux lucarnes l'une ou l'autre de deux numérotations en sens inverse. Tout se passe comme si les roues totalisatrices tournaient en sens inverse.
Pour soustraire 839 de 5 327, par exemple, on on commence par pousser le cache de l'afficheur en position haute, pour faire apparaître la numérotation complémentaire. A l'aide du stylet, on inscrit le complément de 5 327, soit 994 672. Pour ce faire il suffit de piquer le stylet à gauche du butoir et de tourner la roue jusqu'au chiffre que l'on veut complémenter. Sans changer la position du cache, on procède normalement à l'addition de 839. On obtient 995 511. En abaissant le cache, on lit 004 488, qui est précisément le résultat de l'opération." / Jean Marguin

Galerie de l'évolution

Au 18e siècle, Hahn et Schuster l'emploieront également, mais sous une forme circulaire.

Machine de Hahn & Schuster (Circa 1780)

Thomas de Colmar l'adapte sur sa machine

Arithmomètre 1820 (photomontage)

Arithmomètre 1820 (dessin)

Apparition des lucarnes ....doubles ... en 1822

T1822

T1822 (Smithsonian Institute, Washington)

Numérotation complémentaire sur T1822

II) Les cadrans

Sans doute pour des raisons techniques, Thomas choisit de doubler le nombre de dents des roues totalisatrices n,  passant de 10 à 20. 
Tailler dans un pignon un nombre de dents quelconque n'était pas une difficulté pour les horlogers de l'époque. Mais les engrenages comportant  de petits nombres de dents (< 12) étaient plus difficiles à fabriquer.

Ceci a une conséquence directe sur la numérotation des cadrans, situés juste au dessus. Si une dent correspond à une unité décimale, la suite 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 ,8, 9 devra être doublée pour que la concordance soit faîte avec les 20 dents de la roue n.

Avec la numérotation complémentaire, on se retrouve donc avec 40 chiffres à imprimer sur chaque cadran, répartis sur deux cercles concentriques ! un cercle numéroté dans l’ordre croissant, l’autre dans l’ordre décroissant pour la numérotation complémentaire.

III) Positionnement des lucarnes

Le positionnement des lucarnes est étroitement lié à la situation respective de chaque chiffre par rapport à son chiffre complémentaire (Planche générale : Fig. 3).
Ils doivent être situés sur une même ligne horizontale pour que l'un ou l'autre puisse être caché par la bande métallique (Planche générale : Fig. 3a ).
Ceci n'est possible qu'en décalant légèrement vers la gauche la lucarne par rapport à l'axe du cadran.

Détail (1820)